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[대학 교양수업 복습 +8년후] 복잡계 이론 Complex System (썸네일: 구글 나노바나나) - 2탄Archive 2025. 12. 24. 17:29
Chaos(혼돈)
Chaos Theory : 이상기후에 작동하는 것.
혼란이 일어나고 이로 인해 미래에 대한 예측이 불가능./Table of Contents/
3. Chaos theory
1. What is Chaos Theory?
2. E. N. Lorentz의 Chaos Theory
3. Application of Chaos Theory
/What is Chaos Theory/
Case. 덴버 공항에서의 비행기 추락 - 추락한 원인: 추운 날씨에 날개 뒷부분에 결빙된 작은 얼음 덩어리
1. 푸앵카레
- 프랑스의 수학자, 물리학자, 천문학자
- 3체문제에 접근하기 위해 비선형방정식으로 천체 궤도 연구 - 1차원, 2차원은 뉴턴의 법칙과 맞아 떨어지지만 3차원은 그렇지 않음
- 비주기성이면서도 영원히 증가하지도, 또한 고정점에 도달하지 않는 궤도가 있을 수 있다는 것을 발견. - '초기값에 따라 커다란 차이를 만든다'는 것을 발견
카오스 이론이란?
사사로운 변화 하나로 인해 엄청난 결과를 낳게 되는 것처럼
무질서하고 불규칙적으로 보이는 현상 속에 내재된 법칙이나 규칙을 밝혀내는 이론
- 초기조건의 민감성 & 이상한 끌개
/2. E. N. Lorentz의 Chaos Theory/
E. N. Lorentz(로랜츠)
- 초기 조건의 민감성
- 나비효과 주장: 나비의 날갯짓이 뉴욕의 토네이도를 만든다(예측불가능)
- 1942. US Army Air Corps Meteorologist(기상 관측사)
- 1987. MIT 기상학과 교수
- 1963. <대기과학 저널>에 <결정론적인 비주기적 유통(Deterministic Nonperiodic Flow)>을 발표
- 불 위에 올려놓은 냄비 안의 물과 같은 간단한 대류 모델을 컴퓨터로 연구
- 수차의 운동도 카오스계로 해석
결과(1) - 초기조건의 민감성
결과(2) - 나비효과Ex. 토끼 데려가기 운동(일본)
Ex. Broken Windows Theory(깨진 유리창 이론)
1982년 3월 발표
깨진 유리창 하나를 방치해두면, 그 시점을 중심으로 범죄가 확산되기 시작한다는 이론으로, 사소한 무질서를 방치하면 큰 문제로 이어질 가능성이 높다는 의미를 담고 있음. like. 바늘도둑이 소도둑 된다.
#Case. E. N. Lorentz의 냄비모형
- 불을 더 세게 틀었더니 질서가 나타남
결과(2) - 끌개 발견
기이한 끌개(Strange attractor)
: 구체적이고 깨끗한 형상이 아닌, 모호한 모습의 끌개
3-1. Strange attractor(기이한 끌개)의 종류
출처: https://medium.com/@sofiyaflenova/machine-learning-emulators-for-chaos-prediction-lorenz-strange-attractor-life-is-strange-45b7ab3ac4ea
3-2.(2) 한계순환 끌개(주기 운동)
동역학적으로 주기 운동 상태에 해당함.
3-2. (3) 토러스 끌개(준주기 운동) : 상태공간상에서 도넛 모양의 다양체
동역학적으로 2개의 독립된 주파수를 갖는 준주기 운동 상태에 해당함
3-2. (4) 기이한 끌개(카오스 운동) : 프랙탈(fractal)이라는 기하학적 구조를 가짐 [프랙탈은 아름답다는 의미]
동역학적으로 혼돈 운동(Chaos)에 해당
3. Strange attractor 발견 -> 아래 표의 파란색 부분
Oscillates among unlimited sizes, with fractal windows of stability.
3. Turbulence(난류)
- 유체의 각 부분이 시간적이거나 공간적으로 불규칙한 운동을 하면서 흘러가는 것
즉, 운동하고 있는 유체에 있어서, 속도나 압력이 불규칙하게 변하는 흐름
- 유체 유동 중에서 무질서하고 비정상성을 가지는 경우를 일컫는 말
*난류 실험 - H.L. Swinney(스위니) & J.P. Gollub(골럽)
물에 회전시키면 안정성이 띈다.- Turbulence 실험 결과: 회전속도를 증가시키면서 실험을 했을 때, 유체의 운동은 프렉탈 차원의 기이한 끌개 모형을 형성.
→ 불규칙 속에서의 규칙 발견
/3. Application of Chaos Theory/
Ex. Application of chaos
1. the stock mark 주식시장
2. forecast 기상변화에 따라
3. analysis of turbulent 태풍에 대한 분석
4. prediction earthquakes 지진의 예측
5. 심장 박동에서도 적용됨(돌연사를 예방할 수 있다)
Fractal(프렉탈)
혼란 속의 놀라움(질서의 구조)
Q. 우주에서 가장 복잡한 것은? 인간 세상, 인간 도시
/Table of Contents/
2. Fractal
1) Peano Curve(페아노 곡선)
2) Cantor Set(칸토어 집합)
3) Koch Curve(코흐 곡선)
4) Sierpinski Carpet & Curve(시에르핀스키 삼각형과 카펫)
5) Benoit B Mandelbrot(만델브로트)
6) Multi-Fractal(다중 프렉탈)
프렉탈 예시
Intro. Apollonian gasket(아폴로니안 개스킷)
출처: https://www.americanscientist.org/article/a-tisket-a-tasket-an-apollonian-gasket
번개, 눈송이 결정체, 선인장, 공작새, 파인애플, 리아스식 해안, 석순 동굴, 크리스탈 등
- 프랙탈의 특징 : 반복성, 아름다움, 자기유사성이 반복됨
Ex. 린덴마이어(Lindenmayer) or L-시스템
: 나뭇가지가 일정한 길이의 비가 될 때 마다 두 개의 가지로 갈라진다.
5. Overlapping(중첩)
6. Repetition(반복)
프랙탈: 자기유사성, 반복성(자기 복제, 순환성) 존재, 기하학적 구조
- 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조 + 아름다움을 가질 때도.
- 라틴어의 부서진다(조각나다)는 의미의 동사
'프란게리(frangere)' 의 형용사형인 '프락투스(fractus)'라는 낱말을 참조하여 만들어진 단어
/1) Peano Curve(페아노 곡선)/
기울기도 없고 차원조차도 애매한 이런 파격적인 곡선은 수학자들에게 표현하기 어려울 정도로 당혹스러움.
- 푸앵카레 조차도 페아노 곡선에 대한 회의적인 태도 '괴물의 집'이라 일컫음
푸앵카레
- 1890년경 '공간을 채우는 곡선(Space-filling-Curve)'를 발견
- 곡선이란 구부러지고 변형되는 선에 불과하여, 어떻게 구부리던 1차원이라고 하는 것은 수학자들한테 상식
- 그러나 푸앵카레는 곡선을 매우 복잡한 방식으로 뒤틀어서 그것이 그려지는 종이를 전부 채울 수 있도록 만듦
- 2차원 평면을 채우는 모든 점의 집합은 곧 2차원 성을 가짐
/2) Cantor Set(칸토어 집합)/
칸토어
- 0과 1사이의 이루어진 집합.
- [0,1]로 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식
- 비정수 차원(보통은 1,2차원에서 정수가 나타남)
- 아래 이미지의 네번째 같은 경우 1차원인 동시에 2차원임.
출처: https://www.wolfram.com/language/12/core-geometry/space-filling-curves.html.ko 
출처: https://blog.naver.com/breaktime_kr/222043218121
- 무한히 많은 점이 모였으나, 전체를 합한 길이가 0인 이상한 집단이 만들어짐(점도 아니고, 선도 아니다)
- 이 집단의 아무 부분이나 선택해서 적당한 배율로 확대해 보면 전체를 닮은 자기 유사성(self-organization)을 가짐
- 0<x<1 (x는 0.6309)
/3) Koch Curve(코흐 곡선)/
코흐
- 자신을 닮은 네 개의 부분으로 이루어져 있음, 네 개의 부분 중에서 하나를 택해 확대경으로 정확히 3배 확대하여 보면 그 부분은 전체와 똑같은 모습을 띄게 됨
출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake
- 선도 아니고, 면도 아닌 1.2618차원의 것들
/4) Sierpinski Carpet & Curve(시에르핀스키 삼각형과 카펫)/
시에르핀스키
- 시에르핀스키 삼각형과 카펫
: 1. 정삼각형 하나에서 시작
2. 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형 만들어짐. 이 작은 정삼각형 제거
3. 남은 정삼각형에 대해서 2번 시행
4. 3번을 무한히 반복
- 1<x<2, 선도 면도 아님
출처: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_gasket /5) Benoit B Mandelbrot(만델브로트)/
만델브로트
▶ 지도를 놓고 선을 긋는 것 & 실제로 거닐면서 측정하는 것
= 큰 차이
- 자의 길이가 작아짐에 따라 점점 더 작은 크기의 만과 반도를 따라가며 재야하기 때문에 해안선의 길이는 더욱 길어짐
- 해안선의 길이는 더 작은 크기의 만과 반도를 연결한 선의 무한집합으로 생각할 수 있음
▶ 이러한 형상들은 분석하는 가장 현명한 관찰방법은 복잡한 형상들 가운데 가장 전형적인 현상의 모양 하나를 정하고 이에 관한 것을 구체적으로 세밀하게 조사하는 것임
- 프랙탈 이론을 응용하면 설명이 불가능하리라 여겨졌던 복잡한 자연의 형상을 단 몇 개의 반복형 수식으로 나타내고 또한 미적으로 그려낼 수 있음.Fractal Art & Music
/Table of Contents/
2. Fractal Art
1) Fractal Art 의 4C
- Piet Mondrian(몽드리안)
- Jackson Pollock(잭슨 폴락)
- Fractak Dimension(프랙탈 차원)
2. Fractal Music
- Johann Sebastian Bach
- Charles-Francois Gounod
자기유사성을 갖는 기하학적 구조 (카우스 속 질서)
<반대 개념> Tessellation (규칙적 / 작은 패턴을 확대하면 없어짐)
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Caris_Tessellation.svg <-> 프랙탈도 규칙적이나 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이되는 구조
"자기유사성"과 "Fractal 차원" 중요
자연 속의 프랙탈
출처: ChatGPT 인간 육체의 프랙탈 : 인간의 뇌
일상 생활 속의 프랙탈 : 출산 (자기 복제) , 무한히 복제해도 없어지지 않는 유전자
II. Fractal 도형
1. Self simiarity 자기유사성
2. Recursiveness 반복성/순환성
3. 유한면적 무한 길이/유한부피 무한겉넓이(표면적)
1.4차원
출처: https://www.wolfram.com/language/12/core-geometry/space-filling-curves.html.ko 1.2618차원
출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake 0.6300차원
출처: https://blog.naver.com/breaktime_kr/222043218121 1.89차원
출처: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_gasket Benoit B Mandelbrot(만델브로트): 프랑스와 미국의 수학자
Q. 영국의 해안선의 길이는 얼마나 될까?
프렉탈 기하학 - 비정수차원 - 유한면적
PART 2. Fractal Art
Intro. Fractal Art(프랙탈 예술)이란?
- 프랙탈 아트는 기존의 예술 형식을 초월한 새로운 예술 행위
- 신기한 패턴과 무늬로써 사람들의 흥미를 일회적으로 자극하는데 그치지 않음
- 창조적 영감
2025 키아프 전시(직접 찍은 사진) 프랙탈 아트에 해당되는 것 같아 넣어보았다. Fractal Art 의 4C
Chaos(혼돈)
Computer(컴퓨터)
Creativity(창조성)
Communication(의사소통)
Fractal Art
Piet Mondrian(몽드리안)
1872~1944
- 네덜란드 근대 미술 화가, 네덜란드 구성주의 회화의 거장
- 19C 피카소 영향 받음
- 회화주의, 질서&균형의 법칙
https://galeriemontblanc.com/en/blogs/articles/what-are-the-8-most-beautiful-abstract-paintings-by-piet-mondrian?srsltid=AfmBOorI8fWA9VhYvr7Mfj2icJk8l_hjGJPO3nG6twtBwtOocaE6G-oc / https://www.artmajeur.com/ko/magazine/8-mannago-balgyeonhaseyo/hyeondaeseong-ui-lideum-pieteu-mondeulian-ui-yesuljeog-jinhwa/335650 수직, 수평의 기하학을 사용하여 질서와 균형을 구성하며, 자연의 법칙을 규명하는 창발적인 특성
Jackson Pollock(폴락)
- 1912~1956
- 미국의 화가, 추상 표현주의 운동의 기수
- action painting(몸, 손동작 이용)
- 드라이 페인팅 기법(Drip Painting)
-> 인간이나 동물 이미지, 인디언의 토템, 그리스 신화 등의 주제 -> 자신의 의도를 드러내고자 함
https://sothebys-com.brightspotcdn.com/e5/5c/00d849a348a49f038ce0ad401a1b/jackson-pollock-working-in-his-studio.jpg Number 1
https://api.nga.gov/iiif/accfaa20-6bb3-4c02-9f35-ffbf1fcd1584/full/!800,800/0/default.jpg Number 30 (점점 선이 단순화 되었음)
https://publicdelivery.org/wp-content/uploads/2021/02/Detail-of-Jackson-Pollock-Autumn-Rhythm-Number-30-1950-enamel-on-canvas-266.7-x-525.8-cm-8-ft.-9-in.-x-17-ft.-3-in.-installation-view-Metropolitan-Museum-of-Art-New-York-scaled.jpg - 규칙성 모두 존재, 그 안에 프랙탈 차원이 있다는 것도 발견함 (과학적으로 입증함)
Fractal Music
Johann Sebastian Bach(바흐) - 빗방울, 심장소리
- 1685~1750
- 독일의 음악가
- 바로크 음악
-음악의 아버지
- 멜로디 변화 : 음정, 음폭이 얼마나 나오는가?
음폭 낮아진다 -> 적게 나온다
음폭 높아진다 -> 여러번 반복되어 나온다.
Listen. Cello Suite No.3
Charles-Francois Gounod(구노)
- 1818~1893
- 프랑스 작곡가
- I/F(frequency) : fractal 음악
-> 주파수에 반비례함
Cello Suite No.3 -> 프랙탈
출처: 가천대 복잡계 이론 교양 수업 - 김은주 교수님
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